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罗胖精选 | 数学家怎么讲小学数学?

你好,欢迎每天听本书。今天为你解读的书是《数学家讲解小学数学》。

听到书名,可能有人会觉得,小学数学又不难,只要掌握一些基础的数学知识,就能给孩子讲,不太需要数学家来讲解。请注意,会做小学算术题,跟理解小学数学中的基本定义、能够证明数学定理,是两回事。而辅导孩子写小学数学作业,跟成为一个优秀的小学数学老师,也是两回事。

加拿大数学家达拉布(V.Dlab)有句话说得很好,“在激发学生对数学产生兴趣的过程中,知识渊博的老师所起的作用无可替代,改变教学方法,重复地说教,或对教学大纲进行改革,都无法做到这一点。”

家长肯定都希望,能有位知识渊博的数学老师,让孩子的成绩好一点儿。今天这本《数学家讲解小学数学》,就是一位数学家写给小学数学老师的培训教材,目的是帮助老师们更加深刻地理解自己教的内容。如果你是家长,想给孩子讲明白小学数学,给孩子辅导数学作业,那么这本书是非常好的参考。

本书的作者叫伍鸿熙,是国际著名的微分几何学家、数学教育家。他在美国麻省理工获得博士学位,后来在加州大学伯克利分校担任教授,他还是美国国家数学教育专家咨询组成员。他从1992年就开始关注美国中小学数学教育,致力于中小学数学老师的培训工作。

一位数学家为什么会关注中小学数学教育?这始于一次意外。作为数学家,伍鸿熙教授所了解的数学是清楚、实在的,有明确的定理和证明。可当他审查完一套美国中小学数学教材后,意外地发现,美国中小学数学教材中有各种各样的问题,比如,几乎不给出任何准确的数学定义,会用语言陈述来代替数学符号表述,等等。

在伍教授看来,这些都是“不好的数学”。不好的数学,就是不准确、内容比较孤立的数学,它违背了数学的本质,不利于培养学生的逻辑推理能力。好的数学指的是,能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学。把数学分成好的和不好的,这是数学家陈省身提出来的。他曾经与伍鸿熙教授共事过很多年,他的数学品味和判断,深刻影响了伍教授。

面对“不好的数学”,如果老师的数学水平足够好,就能弥补教科书的不足。可问题是,伍教授与很多美国中小学数学老师接触后发现,他们的数学素养,无法帮助学生理解教科书里的数学意义。这些老师虽然在大学学过正规的数学课程,数学知识丰富,但这些课程中并不包括中小学数学。也就是说,未来的老师们没能在大学教育中,获得自己在工作上真正需要的知识。

为了给小学数学老师提供一个更加扎实的起点,让孩子们学到“好的数学”,伍教授编写了这本《数学家讲解小学数学》。这本书按照美国的学制,从学前班讲到七年级,讨论了小学数学课程中关于数的各个主题:自然数、整数、分数、有理数和实数,以及它们的运算法则。伍教授在书里,尤其强调数学的基本原则,比如,每个概念必须精确定义,定义构成了逻辑推理的基础;比如,数学表述要精确,在任何时候,什么是已知的、什么是未知的,都要非常清楚;再比如,数学是连贯的,它就像一张编织紧密的挂毯,所有概念和技巧逻辑严密地编织在一起,形成一个统一的整体。

伍教授强调这些是因为,他发现,美国中小学的数学教育常常违背这些基本原则。在他看来,老师们明确了这些原则,就能更好地教学生,而学生们知道了这些原则,也就能明白,数学不是背出来的,而是理解出来的,掌握了基本原则和知识,自己就可以进行推理。

好,今天的解读,围绕三组词展开。第一部分,我们通过数学家的视角重新“理解数字”。第二部分,我们来了解下,“数学语言的准确性”。最后,是“数学知识的连贯性”。

第一部分

我们进入第一部分。

这本书的英文标题,翻译过来叫“在初级数学中理解数”。数字有什么难以理解的吗?我们一、二、三这样数下去,不就知道了吗?看了这本书,你就会发现,还真不是这么简单。

这本书开头十几页的内容非常简单,伍教授不厌其烦地教大家数数。他说,加法就是连续记数。比如,4与5的加法,就是从4出发,数上5步,由此得到数字9。所谓a加b,就是表示从a开始,数了b步而得到的数。数着数着,他引入了位值制的概念,位置的位,数值的值,也就是什么是十位,什么是百位。

如果只能用一个位置来记数,那么数到9,我们就不能往下数了,这时候,需要增加一个位置,这个新的数位就是十位,数到99时,需要再增加一个位置,也就是百位。伍教授通过连续记数来引入位值制,是为了帮助学生理解这个概念的起源,让学生知道,数学处理问题的方法不是凭空得来的,而是有根据的。这样,刚开始学习数学的学生,就能理解什么是十位、百位,就会知道所谓的位值制其实很简单,不用机械地背诵“数字的第一位是个位,个位的左边是十位,接着是百位”。

伍教授强调,我们在讨论数的时候,离不开数轴,数轴是一条直线,上面的每一个点都唯一地等同于一个数。虽然自然数这个概念是从记数发展出来的,但是从学习数学的角度来看,对数字有一个几何上的认识很有价值。数学知识的一个特点是抽象性强,很多学生会因此望而生畏。通过数轴,我们就能把连续记数这个很抽象的过程,转化成空间中可以看到的过程,非常直观。在数轴上,我们不仅能找出自然数,还能找到分数、有理数,从而理解这些数的加减乘除。比如,把数字a、b都放在数轴上,得到线段a和线段b,两个拼接起来求长度,就是两个数字相加的结果。

说完了记数,我们来看运算法则,这是小学数学中最基础的内容。一说到运算法则,有些人认为,只要会背就够用了。假如一个小孩总是面对4乘5等于几,17乘12等于几,这样的问题,那他的确不用学习任何运算法则的本质。可如果他长大后,还要继续学习计算,要去算34609乘549728等于多少的时候,靠着背诵运算法则,就很难回答了。

在伍教授看来,我们在讨论运算法则的时候,重点不是法则本身,而是隐藏在它们背后的逻辑推理。这些内容能让老师和家长,向孩子合理、正确地解释,为什么人们要这样计算。伍教授还建议,如果家长想让孩子早点儿接触数学推理,就要让他们学习这些运算法则的本质。如果一个人对运算法则的数学推理过程感到不舒服,那他以后就很难理解代数。

那么,究竟什么是运算法则的本质?伍教授说,运算法则有一个贯穿的中心思想,就是把复杂问题分解成一个个简单的子问题,这也是研究数学的基本工具。在进行多位计算的时候,把计算过程分解成许多步,每一步都只涉及一位数的计算。

举个简单的例子,我们左右手里都有一摞钱,左手有3张10块钱,4张1块钱,也就是34块钱;右手呢,有两张10块钱,5张1块钱,也就是25块钱。这些加起来,一共有多少钱呢?我们可以先把10块钱都放在一起,有5张,1块钱都放在一起,有9张,相加的结果就是59。

像刚才这样,不管参与计算的数字有多大,运算的每一步都只关心一位数的计算,这就是抽象思维,而抽象思维是数学学习的关键。有一种观念是,搞数学,每一步都要思考。但伍教授提醒我们,不是这样的,搞数学,对一个课题深刻理解后,就可以把许多复杂的过程分解成简单、机械的过程。

老师、家长在给孩子讲运算法则背后的推理时,常常会感觉到这种单调,单调就对了。简单、单调的计算过程,做起来既简单易行,还能为我们节省脑力。伍教授说,给孩子讲授运算法则时,必须同时强调运算法则是单调、不用思考的。假如老师、家长给孩子讲运算法则的时候,不强调这种单调,反而会丢掉了它们的本质。

读这本书的时候,我们也会感觉到这种单调。比如,伍教授会让我们比较,1058和874这两个数字,谁大谁小。这一听是明摆着的事,我们凭直觉就能比较出来。但伍教授说,凭直觉并不是学习数学的好方法。好多孩子一学到分数,都会感觉困难,那就是因为直觉不起作用了。有些孩子会误以为,二分之一加二分之一等于四分之一,这就是错误的直觉。

那么,怎么不靠直觉,来比较1058和874的大小呢?伍教授说,1058比874大,那是因为999比874大。999是最后一个三位数,它后面跟着的是第一个四位数1000,而1058又比1000大。

伍教授还在书里说,孩子学习运算法则,其实就是从数学的观点领悟阿拉伯记数法。这是什么意思呢?我们知道,阿拉伯记数法也叫作十进制记数法,十进制就是满十进一。

伍教授讲十进制之前,先讲了除法的定义。在他看来,十进制的除数是10,二进制的除数是2。听起来有点抽象,我们来看一个例子。比如,十进制就是把一个数字改为10的n次方的展开式,用十进制来看,28这个数字就可以展开成20加8,也就是2乘以10的一次方,再加上8乘以10的零次方。这就是阿拉伯记数法的十进制的数学意义,不再通过数数来认识一个数字,而是从展开式的角度来认识它。

刚才我们为了表述方便,用的都是很小的数字。伍教授在书里也特意说到,有时候小学老师为了课堂讲述方便,总会用比较小的数来举例,但这实际上会造成学生的畏难心理。其实,只要掌握了规则,就不用怕复杂的数字,小学老师也可以在课堂上用大的数字给学生举例。

说到记数法和运算法则时,除了数轴,伍教授还讲了很多相关的知识,感兴趣的话,你可以在这本书的第一部分看到,我们这里就不展开了。伍教授之所以介绍这些知识,是想帮助老师和家长对自己教的东西,有高屋建瓴的认识,这样,大家在教孩子的时候,头脑中也会更清晰。

第二部分

我们读伍鸿熙教授这本书,会有一个很直接的感受是“死扣定义”。他说,在数学中,定义极为重要,因为数学是一门精确的学科,人们需要精确地知道自己在讨论什么内容。这本书的目的之一,就是强调用精确的语言和精确的推理,得到逻辑严密的结论并解决具体问题。

伍教授这么重视定义,是因为他发现,美国大部分学校,长期以来都忽略定义,老师和学生会感觉,定义不是必需的,而是多余的。可是,如果老师教授数学时,不给出精确的定义,学生会不知道自己学的是什么。在伍教授看来,定义是所有数学推理和讨论的基础,定义决定了每个概念都有什么样的性质。有了精确的定义,许多严格的推理就变得可以理解了。

接下来,我们就来看看什么是精确定义。

网上流行过这样一道数学题。说有一个自然数,它比7大,又比10小,请问这个数是几。不少人的答案可能是8和9,但实际上答案应该是8或9。问题里说的“这个数”,它的意思是“一个数”,而8和9是两个数,一个数可以是8或9。

分辨“和”与“或”之间的区别,这不是语言上的事吗?学数学,也要强调对语言的理解吗?是的,数学也有对语言的理解。比如,我们学数学时,会碰到“有且仅有”这样的短语,这就是一种严谨的数学表达。

伍教授讲到分数乘法的时候说,日常用语经常是模糊不清的,假如用日常用语来做数学题,可能会变成一种猜谜游戏。在这种情况下,数学题做得好不好,常常取决于一个人对日常用语中隐含意义的理解有多深。

我们来看两道应用题:艾伦一家人参加了一个野餐聚会,一共有15个人,艾伦一家是15个人中的三分之一,请问这一家有多少人?另一道题是:詹姆斯吃掉了16根火腿肠的八分之一,问他吃了多少根火腿肠?我们不用做这两道题,用它们为例,是想让你理解,题目里的“的”字,其实就是要我们做乘法。

刚才这两道题里都有分数,分数是小学数学常见的教学难点,很多学生学到分数就开始糊涂了。这种现象的一个主要原因是,很多美国小学数学教科书,没有明确定义跟分数相关的概念,老师们常常用各种方式来向学生说明。比如,老师常常会用分蛋糕的比喻,来让孩子们理解分数,三分之一,就是把一块蛋糕切成相等的三份,取其中一块。但是教学生分数乘法的时候,蛋糕的比喻就很难让人接受,我们怎么能把两块蛋糕相乘呢?

除了比喻,美国学生学分数的时候,通常还会碰到不同的解释:一种是说,分数表示部分与整体的关系;还有一种是,分数就是商,分数三分之二,就是2除以3。伍教授说,把这些解释当成分数的定义是不能让人满意的。如果老师、家长不用精准的定义来讲数学,而是用比喻,那就不能要求学生去进行准确的计算,更不能要求他们去做准确的推理。

那么,伍教授对分数给出的精确定义,是什么呢?非常枯燥。在他看来,分数也是数轴上的点。假设有一个自然数n,我们把0到1之间的线段分成n个相等的部分,那么,n分之一在数轴上,就是0在右边的第一个分点。n分之一的所有倍数,就构成了一列与n有关的等距点。

说实话,伍教授的这个定义,直接讲给低年级的小学生听,会让他们更不明白。但小学生学习分数,有点像科学家的“数据收集阶段”,先通过“分蛋糕”或者“半杯水”这样的现象,直观地了解什么是分数。等到了小学时期的高年级,老师就需要对分数进行理论化的解释,帮助学生进入到“建立理论阶段”。

这时候,老师给学生讲分数计算,就要开始强调数学的抽象成分,让抽象观念成为课堂教学的一部分。学生刚开始接触抽象概念,可能会听不明白,理解起来比较慢。这时候,老师宁可讲得慢一些,也要帮助学生真正地理解抽象概念。这样,当学生遇到复杂问题了,能够自己把它抽象成数学语言,理解问题的目的,其实也就掌握了数学的思维方法。

我们说到“死扣定义”的时候,应该知道伍教授在死扣什么:他是在区分比喻型的解释和数学上的真正解释,他在区分直观的解释和数学概念真正的定义,他在区分日常生活用语中的数学表达和真正数学语言的表达,他是在区分具象与抽象。他是在告诉我们,学习数学的时候,要准确地知道自己在讨论什么内容,这件事跟语言密切相关。

第三部分

好,我们进入第三部分,说说数学知识的连贯性。

在美国,很长一段时间,中小学生实际学到的都是不连贯的数学。用伍教授的话来说就是,学生学会了一堆数学上的花招,这些花招之间没有什么关联,好像第一年学会的东西,第二年就可以忘掉了。在伍教授看来,数学的连贯性非常重要,连贯性是构成数学的一种品质,一门连贯的课程,就要用一种连贯的方法来展示。

那么,什么是数学知识的连贯性呢?伍教授说过一个很形象的比方。他说,《西游记》描写的是唐僧师徒几人经历八十一难的故事,其中每一难都是一个情节独立的故事。可是数学不一样,数学就像一部连载小说,每一章内容跟它的前后章节,都密不可分。因此,数学知识的连贯性,就是要求老师在数学教学中循序渐进,每个知识点既要为它做好铺垫,也要注意它与后续知识点的关联。

教小学数学的时候,也要遵循连贯性。伍教授说,学习小学数学,先要在数轴上认识自然数,然后是分数,最后是有理数。他在这本书里,系统、全面地展示了自然数、分数和有理数的数学发展过程。首都师范大学的王尚志教授,评价这本书时说,伍教授把中小学大部分数与代数的内容整合到一起,这体现了数学的基本思想:抽象、推理和模型。伍教授的做法,有助于小学数学教师从整体上掌握数学课程的目标,认识数学课程的内容。读者看这本书的时候,也会感受到,加减乘除等概念,从自然数,到分数、有理数、实数的演化过程都是连贯的,就可以从整体的观点来看待数。

道理已经清楚了,可真做起来,才知道什么是知易行难。拿家长来说,家长陪孩子写作业,给孩子讲数学的时候,很容易犯这样一个毛病:无法整体掌握。比如,要是给孩子讲分数的除法,五分之三除以三分之一,我们会告诉孩子,除以一个分数,就是乘以这个分数的倒数,除以三分之一,就是乘以三。家长们可能不太管这个公式是怎么来的,反正先让孩子会做题再说。这样做,实际上就是缺乏对数学连续性的整体认识,不太讲数学教学的顺序。更糟糕的是,大部分家长并不知道什么是数学知识的连贯性,也不知道自己打破了这种连贯性,好心教给孩子快速解题的秘诀,反而不利于孩子学习数学。因为很多家长念书的时候,好像也是这么学、这么做的。

比如,做分数加法的时候,我们都知道有个数学概念叫“最小公倍数”,有了它做题就会很简单。比如,四分之三加六分之五,这两个分数相加,我们知道,要先求两个分母的最小公倍数,4和6的最小公倍数是12,于是,四分之三就变成了12分之9,六分之五变成了12分之10,它们相加之后,等于12分之19,这就是结果。但伍教授说,给小学生讲解分数加法的时候,使用最小公倍数这个概念是不合理的,因为学生会产生很多困惑:分数加法怎么跟之前的自然数加法不一样呢?最小公倍数是什么,它怎么突然出现了?为什么分数加法就要用到这个新概念?

伍教授还说,突然使用“最小公倍数”这样的概念,也会给学生的计算过程造成不必要的障碍。比如,有这样一道题,数字有点复杂,但请你放心,不会影响我们的理解。在这道题里,学生要计算,323分之2,加493分之3,结果是多少。如果把两个分母相乘,学生就要用323乘以493,得出159239,分子2和3也要相应地分别乘以493和323,两数相加得到1955,然后才能得到答案,159239分之1955。这还不算完,一般来说,学校老师还会要求学生对答案进行约分,也就是把那个复杂的分数,即分子分母都同时除以17,再约分成9367分之115。

对一个小学六年级的学生来说,这些计算太难了。在伍教授看来,这样的计算方式,根本没有什么道理、整体性可言。进行分数相加的时候,突然出现最小公倍数的概念,会干扰学生对分数加法的理解。至于得出的答案是不是要约分,也不是什么一定之规。十分之五要约分为二分之一就足够了,分母分子是两位数的时候,约不约分其实并不重要。

伍教授说,讲解分数的时候,我们不能总是让学生面对一位数的分母、一位数的分子,而是要用比较大的数。简单的分数,会使学生习惯性地依赖比喻的方式,不愿意对分数进行抽象理解,这会阻碍了他们之后对代数的理解。如果老师布置的习题中,能够经常出现68分之159,825分之21这样复杂一点分数,而不是简单的分数,学生就无法用比喻的方式去理解分数了,他们进而就会迫切地想要掌握分数的概念及其运算。

那么,伍教授在这本书里是怎么讲分数加法的呢?他花了很多篇幅,先是做了一些基础知识的铺垫,讲了什么是等价分数,什么是分数对,然后才讲到分数加法,讲完分数加法以后,他又继续往后延伸,讲了等价分数的进一步应用,讲了分数的乘法和除法。他这样讲就是在确保数学知识的连贯性。

伍教授建议,老师在教中小学数学知识的时候,不仅要为教学难点做好铺垫,也要适当地向高等数学引申,把中小学数学知识和高等数学统一地衔接在一起。如果老师做不到的话,起码也要保证自己教的知识,不会跟高等数学的知识相悖。这样,学生在学习数学的过程中,才能感觉到,数学是一门有整体性和连贯性的科学,是有理可循的,增强他们学习数学的信心。就像日本数学教育家米山国藏说的:“数学是由简单明了的事项与逻辑推理的结合而一步一步地构成的,所以,只有学习数学的人注意老老实实地一步一步去理解,并同时记住其要点,以备以后之需用,就一定能理解其全部内容。”

回过头想想,我们凭借自己有限的数学知识,帮助孩子做出一道小学算术题,这不是什么难事。我们给孩子讲分数除法的时候,告诉他,除以一个分数,就是乘以这个分数的倒数,这非常简单,我们脑子里记着的这个公式,能帮助孩子做题。但如果我们要想像伍教授那样,理解数学知识的连贯性,注重连续性的逻辑推导,一步步给孩子讲明白整个小学的数学课程,这也绝不是一件简单的事。

结语

好,以上就是我对《数学家讲解小学数学》这本书的解读。我们简单总结一下。

第一,《数学家讲解小学数学》是伍鸿熙教授写的一本小学数学师资培训教材,它设定的读者是小学数学老师,目的是让小学数学老师,对自己教的课程有整体认识,进而让学生学到好的数学。本书虽然是数学教材,但是读起来并不需要太多的数学基础,如果你是家长,想给孩子辅导小学数学作业,不妨看看这本书。书中的推导都很严谨,你可以准备好草稿本和铅笔,跟伍教授一起演算。

第二,我们只要打开这本书,就会感知到伍教授对定义的重视,用一句我们常说的话,死扣定义。他的死扣定义,是一种高屋建瓴的认识。我们跟着伍教授来区分日常生活中的数学表达,和真正数学语言的表达,实际上,就是要学着清楚地意识到,自己讨论数学时在说什么。

第三,有些家长,看见自己的孩子给别人讲数学题,会觉得是在浪费时间。实际上,理解一道题,再讲给别人听,是在整理自己的思路,自己搞明白了,才能深入浅出地讲给别人听。伍教授这本书能帮助我们理解小学数学,但并不意味着,我们看完书后,遇到什么样的题都能解出来。有时候,不断刷题就是在加深理解。因此,阅读这本书的时候,我们也应该耐心一点儿。书中的内容,孩子要用六年的时间才会学完,我们也有六年的时间跟着孩子一起学完。

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