合作4：商业是最大的善

在之前的几期里，我们确认了一报还一报的策略是非常优秀的，它在单场比赛中胜出，在专门针对他的比赛中胜出，在加入了演化机制后依然胜出。

但是，科学家们还是希望研究得更全面一些，既然一报还一报具有如此巨大的优势，为什么现实中背叛他人、拒绝合作的行为还比比皆是呢？

其实，这可能源于可侵入性。

可入侵性

可侵入性的定义是基于演化机制而来的。在一个都秉持 A 策略的群体里，引入一个 B 策略的个体，那么一段时间后，这个群体里还有没有 B 呢？

如果 B 消失了，就说明这个群体是不可侵入的。如果过了一段时间后，发现群体内所有成员都是 B 了，就说明这个群体是可侵入的。

当然，还有第三种情况，就是过了足够长的时间之后，发现依然是既有 A 也有 B，而且 A 与 B 的比例甚至会在某两个值之间震荡，这属于比较复杂的情况，这期我们不讨论它。

现实中，我们其实更关心的是以下几种情况：

善良策略被邪恶策略入侵。这就是一个社群整体行为从合作转为背叛的劣质化；

善良策略无法被邪恶策略入侵。这个群体不但充满了合作，还很稳定。

同时，我们还关心：

邪恶策略被善良策略入侵。因为这标志着一个充满了背叛的群体会变得充满合作，这是巨大的进步。

而我们最关心的是：

有没有哪些邪恶策略无法被善良策略入侵？因为生活在这样策略的群体中，形同生活在地狱。

一报还一报不可入侵

那么，如果用数学来描述，什么才是“入侵”呢？

其实，就是新来者加入原住民进行博弈后，不但在第一场比赛中得更高分，而且在自己的后代数量不断增加后，依然可以比原住民的策略得到更高分。

阿克塞尔罗德通过大量计算，统计了不同策略的可入侵性。但咱们没法都说完，所以，我用那个最著名的一报还一报策略的可入侵性举个例子。这个例子涉及的计算步骤也是比较简单的。

首先，某一个策略如果能在一报还一报的群体里得分更高，只能靠偷摸一次背叛，才能让那一回合自己多得 5 分。除此之外，别无他法。

但如果就这样偷摸背叛的话，一报还一报也会马上回以背叛。入侵者如果继续以背叛回应的话，一报还一报的原住民接下来还是会背叛，双方都是背叛，于是就进入了每轮互得 1 分的低分陷阱。

入侵者如果和每个原住民都这样搞，最后确实是每场都赢了对手，但都是通过把对手得分拉到很低，让自己比对手多得 5 分的方式赢得比赛的。

可那些发生在原住民之间的比赛，都是原住民双方互相得了高分。于是加和之后，入侵者的总成绩就会非常差，自己的演化优势也会一步步衰减，最后消失。这就是入侵失败了。

而如果入侵者不背叛，就不会得到比原住民更高的分数，于是入侵就永远不会成功。所以，一报还一报策略是不可入侵的。

基础设定影响结果

到了现在，很多人会对一报还一报策略更加推崇，没想到它不但有演化上的优势，还有不可入侵性。但可能很多人一直忽略了一个特别基础的前提，那就是得分规则。我这里再重复一下：

1. A 背叛、B 合作时，A 得 5 分，B 得 0 分；

2. A 和 B 都背叛时，双方都得 1 分；

3. A 和 B 都合作时，双方都得 3 分。

这是到现在为止，一切结论的基础。

说得更通俗一些，一方得 5 分、一方得 0 分意味着什么，大约就意味着，那个被对方背叛的嫌疑犯最终判刑 5 年，而那个供出对方的嫌疑犯却无罪释放了。这虽然是个典型的数值，但却是不一定的，也有可能警方不会轻易释放他，而是判了半年。

其他条件也是。比如，A 和 B 都合作时双方各得 3 分，对应真实情况就是，他们都守口如瓶后，分别被判了 1 年而已。但实际情况也可能是，A 和 B 虽然都没有说，但警方已经掌握的证据也足够他们分别判 4 年的，和最高刑期 5 年也没差多少。

这些真实情况里的变动，就严重影响了一报还一报是否还是最优解，是否具有演化优势，是否具有可入侵性了。

而这些数值上的变动其实也是可以计算的。接下里，我说说计算的大致原理：

在阿克塞尔罗德策划的第二场比赛中，会以一个概率来判断什么时候双方比赛终止。这个下一回合就结束比赛的概率是 0.346%。于是对每个参赛者来说，由于我们也不知道到底会在哪一步停止比赛，也许只进行了 2 个回合就结束，也有可能进行了 422 个回合还没结束。

那么，怎么预测两个策略博弈时分别的得分呢？是可以预测的。这其实是一个多项式累加的结果。

首先，根据策略的规则，我们起码能一直不停地推算出无数步骤之后，A 怎么做、B 怎么做，然后根据 A 和 B 是背叛还是合作，算出他们每一次的得分。但这个得分不能直接相加，而是每个回合的得分都要乘以那个回合还没有结束比赛的概率。

对应到阿克塞尔罗德的实验来说，第一个回合没有结束的概率当然是 100%，否则就别比赛了。第二个回合没结束的概率就是 1 – 0.346% 的 1 次方，等于 99.654%；第三个回合还没结束的概率是 99.654% 的 2 次方；第四回合还没结束的概率是99.654% 的 3 次方，以此类推。这样的无穷数列加合，就是双方各自得分的期望值。

我们注意，99.654% 是一个非常接近 100% 的值，也就是说，双方第二回合、第三回合、第四回合、第五回合等的博弈几乎一定会发生。但你可以算算，第 201 次博弈要发生的概率是多少。其实就是 0.99654 的 200 次方，是 0.49997。也就是说，有一半的机会双方比赛会在第 200 回合终止。

为了简便，我们之后就管这个下一回合将要发生的概率叫做 W。有了 W，就能计算不同的博弈分数设置，对一报还一报还是不是不可入侵的影响了。

具体的计算过程比较复杂，我就不展开解释了，结果是这样的：在阿克塞尔罗德的参数设置里，也就是得分分别为 5、0、1、3 时，只有 W 大于等于 2/3，才能保证一报还一报是不可入侵的。

你可以粗糙地理解为，至少要有 3 个回合的博弈，一报还一报才是不可入侵的。

如果 W 小于这个值，那只要采取背叛、合作交替的方式，就能获得比一报还一报更多的得分，于是一报还一报就被成功入侵了。而如果 W 小于 1/2，那么采取一个更加邪恶的策略，也就是总是背叛的策略，都可以成功入侵。

预期博弈次数影响行为

分析了半天 W，我们是要说明什么呢？

我要说的是，邪恶不是人性，也不是道德水平上的问题。

在客观条件基本稳定的情况下，人们经过一段时间的磨合或者说演化，最终会出现其乐融融的互相合作呢，还是互相坑害呢？

这取决于双方对今后继续博弈次数的预期，或者说的通俗一些，你们还会不会经常遇到。只要双方都认为还会经常博弈，即便双方是普通人看来注定是道德水平低下的黑帮，或者是战场上你死我活的对手，合作都是势不可挡的。

比如，第一次世界大战中，英军和德军的堑壕战就是合作的好例子。双方僵持了几周后，都知道在什么时间、什么坐标点会有炮弹落下，然后双方都会在对方炮弹射程范围内避开在这些固定投弹点活动。

在互相的射程范围之内，那些插着旗子的地方是双方狙击手不能染指的地方。另外，早上 8 – 9 点是双方都认为的神圣而不可侵犯的私人时间。同时，军需官运送物资时也是不能射击的。

而这样的情况上级也有所了解，这是官员们不能容忍的，咱们这可是战争，怎么能互相配合着打假仗呢？于是上级会反复的下令骚扰对方，还会设置每隔多少天，要求部队换防。这都是希望通过扰乱双方已经达成的默契来促进你死我活的厮杀。

但就是在这样高压的强制手段下，和敌方合作的行为依然像雨后春笋一样不断萌发。为什么呢？因为你开一枪，我要不要也开一枪？你开一炮，我是不是也还一炮？

如果这些都算做一回合博弈的话，那对于双方僵持几个月的堑壕战来说，W 值，也就是下一回合博弈会发生的概率，应该是非常接近于 1 的。也就是说，双方都预期到今后将有无穷多次的博弈机会，于是合作就是这样产生的。

但还有完全相反的例子。比如在几十年前，我们都知道火车站的东西决不能买，买一次上当一次，即便不是假冒伪劣产品，价格也会高出正常价特别多。为什么？

说得文雅一些，就是商贩知道这种情况下的 W 值小于 2/3；说得通俗一些就是，你们这辈子都不太会遇见第三次了。

除此之外，还有一些需要注意的情况。比如，一个人年老力衰的时候，或者有限次交易的最后一次，都很容易遭遇周围人的背叛。这也是因为他周围的人预见到，今后双方还能博弈的次数不多了。于是，老年人需要更多法律保护。这算是依靠法律修正了背叛的惩罚分数，把惩罚分数大大拉高了。

由此，我们也能从另一个角度，理解一个得到用户非常熟悉的俗语——商业是最大的善。为什么？因为商业发达促进了人与人的频繁博弈，导致 W 向数值 1 靠近，于是合作行为才是最有利和不可入侵的。